Тухсатăрансен таблици

Тухсатăрансен таблици — чи ансат элементарлă функцисен тухсатăранĕсене йĕркепĕрĕн палăртса тухни. ("Тухсатăран" тенине çавăн пекех тăхăм, функцин тăхăмĕ теме пулать).

Кăтартакан формулăсенче $f$ тата $g$ — чăн аргументлă тата дифференциленекен (тухсатăранне тупма май пур) хуть те мĕнле функцисем, $c$ — чăн константа. Ку формулăсем хуть те мĕнле элементарлă функцин тухсатăранне те тупса палăртма май параççĕ.

Ансат функцисен тухсатăранĕсем

• $\frac{d}{dx}c=0$

• $\frac{d}{dx}x=1$

• $\frac{d}{dx}cx=c$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни: $(cx{)}^{\prime }=c{x}^{\prime }=c$ Шаблон:Цитата вĕçĕ

• $\frac{d}{dx}{x}^c=c{x}^{c-1},$     енчен те $x^c$ тата $c{x}^{c-1}$ палăртăннă пулсан, $c\ne 0$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни:

$(x+h{)}^c=x^c+(x^c{)}^{\prime }h+o(h)$

$(x+h{)}^c-x^c=(x^c{)}^{\prime }h+o(h)$

$\sum _{k=0}^c(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k})x^{c-k}{h}^k-x^c=(x^c{)}^{\prime }h+o(h)$

$x^c+c{x}^{c-1}h+\sum _{k=2}^c(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k})x^{c-k}{h}^k-x^c=(x^c{)}^{\prime }h+o(h)$

$c{x}^{c-1}h+\sum _{k=2}^c(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{k})x^{c-k}{h}^k=(x^c{)}^{\prime }h+o(h)$

$c{x}^{c-1}h+o(h)=(x^c{)}^{\prime }h+o(h)$

$\underset{h\to 0}{\lim }(c{x}^{c-1}+\frac{o(h)}{h})=\underset{h\to 0}{\lim }((x^c{)}^{\prime }+\frac{o(h)}{h})$

$c{x}^{c-1}=(x^c{)}^{\prime }$

• $\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни:

$|x|=\sqrt{x^2}$, çавна кура çапла тейĕпĕр: $g(x)=x^2,h(x)=\sqrt{x}$ тата $f(x)=h(g(x))=\sqrt{x^2}=|x|$

Вара $f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}$

• $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

• $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^c}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-c}\right)=-\frac{c}{x^{c+1}}$

• $\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},x>0$

• $\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1-n}{n}}=\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}$

См. также

• Умсăнарсен таблици