Умсăнарсен таблици

Умсăнарсен таблици (тапăлĕ) — тĕрлĕ йышши чи ансат элементарлă функцисен паллăмарлахлă интегралĕсене (эппин, умсăнарĕсене те) йĕркепĕрĕн вырнаçтарса тухни. Ку ыйтупа ялан тенĕ пек кирлĕ формулăсен пуххи. Математикăлла анализра икĕ чи кирлĕ операци пур:

• Функцисен тухсатăранне тупасси,
• Функцисен паллăмарлăхлă интегралне тупасси.

Иккĕмĕш операцире тупсăмĕ элементарлă функци пулмасса та пултарать. Хуть те мĕнле элементарлă функцин те умсăнарĕсем вĕçĕ-хĕррисĕр. Çав вĕçĕ-хĕррисĕрлĕхе кунта черетлесе тухакан формулăсенче $C$ константа палăртать.

Функцисене интегралламалли йĕркевсем

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int (\int g(x)dx)df(x)$

$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$

Элементарлă функцисен интегралĕсем

Рационаллă функцисем

$\int 0dx=C$ (Нулĕн умсăнарĕ — константа, хуть те мĕнле чикĕсенче те нуль интегралĕ нуль пулать)

$\int adx=ax+C$

$\int x^{n}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,& n\ne -1\\ \ln \left|x\right|+C,& n=-1\end{array}$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}+C$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни: Улăштару тăватпăр: $x=a\mathrm{tg}t$, вара

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{d(a\mathrm{tg}t)}{a^2+(a\mathrm{tg}t{)}^2}=\frac{1}{a}\int \frac{{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}dt=\frac{t}{a}+C=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C.$ Шаблон:Цитата вĕçĕ

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$ («çÿллĕ логарифм»)

Логарифмсем

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln |\ln x|+C$

$\int {\log }_{b}xdx=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C=x\frac{\ln x-1}{\ln b}+C$

Экспонентăлла функцисем

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Иррационаллă функцисем

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arccos \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}\frac{|x|}{a}+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2+a}\right|+C$ («вăрăм логарифм»)

$\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a}+a\ln |x+\sqrt{x^2+a}|)+C$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни:

Калăпăр $a<0$, малалла çавăн пекех $x\ge 0$ тесе шутлăпăр. Гиперболăлла функцисемпе усă курса улăштару кĕртĕпĕр: $x=\sqrt{-a}\mathrm{ch}t,t\ge 0$

$\begin{array}{cc}\int \sqrt{x^2+a}dx& =\int \sqrt{(\sqrt{-a}\mathrm{ch}t{)}^2+a}d(\sqrt{-a}\mathrm{ch}t)=-a\int \sqrt{{\mathrm{ch}}^{2}t-1}\mathrm{sh}tdt\\ & =-a\int {\mathrm{sh}}^{2}tdt=-a\int \frac{\mathrm{ch}2t-1}{2}dt=\frac{-a}{2}(\frac{\mathrm{sh}2t}{2}-t)+C_1\\ & =\frac{-a}{2}(\mathrm{sh}t\mathrm{ch}t-t)+C_1\end{array}$

Анчах

$\mathrm{sh}t=\sqrt{{\mathrm{ch}}^2-1}=\sqrt{\frac{x^2}{-a}-1}=\frac{\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{-a}},$ $\mathrm{sh}t\mathrm{ch}t=x\frac{\sqrt{x^2+a}}{-a},$ $e^t=\mathrm{sh}t+\mathrm{ch}t=\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{-a}}.$

Çавăнпа

$t=\ln \frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{-a}}.$

Çапла вара, юлашки вакăн айĕн логарифмне С константа шутне кĕртсеН, куратпăр

$\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}\ln |x+\sqrt{x^2+a}|+C$

Енчен те $x<0$, вара $x=-t,t>0$ улăштарса, интеграла пăхса тухни пек тăватпăр. Енчен те $a>0$, вара $x=\sqrt{a}\mathrm{sh}t$ улăштарса, унчченхи пек шухăшларăшсем йĕркелесе, унчченхи патнех пырса тухатпăр. Шаблон:Цитата вĕçĕ

Тригонометрилле функцисем

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+C$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни: $\int \mathrm{tg}xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C$ Шаблон:Цитата вĕçĕ

$\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+C$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни: $\int \mathrm{ctg}xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}=\ln |\sin x|+C$ Шаблон:Цитата вĕçĕ

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|+C$

$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\mathrm{ctg}x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{ctg}x+C$

$\int \sec x\mathrm{tg}xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\mathrm{ctg}xdx=-\csc x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx,n\in \mathbb{N},n⩾2$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx,n\in \mathbb{N},n⩾2$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Гиперболăлла функцисем

$\int \mathrm{sh}xdx=\mathrm{ch}x+C$

$\int \mathrm{ch}xdx=\mathrm{sh}x+C$

$\int \frac{dx}{{\mathrm{ch}}^{2}x}=\mathrm{th}x+C$

$\int \frac{dx}{{\mathrm{sh}}^{2}x}=-\mathrm{cth}x+C$

$\int \mathrm{th}xdx=\ln |\mathrm{ch}x|+C$

$\int \mathrm{csch}xdx=\ln |\mathrm{th}\frac{x}{2}|+C$

$\int \mathrm{sech}xdx=\mathrm{arctg}\mathrm{sh}x+C$

çавăн пекех $\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(e^x)+C$

çавăн пекех $\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(\mathrm{th}\frac{x}{2})+C$

$\int \mathrm{cth}xdx=\ln |\mathrm{sh}x|+C$

Шаблон:Цитата пуçламăшĕ Кĕскен ăнлантарни: $\int \mathrm{sech}xdx=\mathrm{arctg}\mathrm{sh}x+C$ формулăна ĕнентерни:

$\int \mathrm{sech}xdx=\int \frac{dx}{\mathrm{ch}x}=\int \frac{\mathrm{ch}x}{{\mathrm{ch}}^{2}x}dx=\int \frac{d(\mathrm{sh}x)}{1+{\mathrm{sh}}^{2}x}=\mathrm{arctg}\mathrm{sh}x+C$

$\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(e^x)+C$ формулăна ĕнентерни: $\int \mathrm{sech}xdx=\int \frac{dx}{\mathrm{ch}x}=2\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}=2\int \frac{d{e}^x}{1+e^{2x}}=2\mathrm{arctg}(e^x)+C$.

$\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(\mathrm{th}\frac{x}{2})+C$ формулăна ĕнентерни:

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{sech}xdx& =\int \frac{1}{\mathrm{ch}x}dx=\int \frac{dx}{{\mathrm{sh}}^2\frac{x}{2}+{\mathrm{ch}}^2\frac{x}{2}}=2\int \frac{d(\frac{x}{2})}{{\mathrm{ch}}^2\frac{x}{2}(1+{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2})}\\ & =2\int \frac{d(\mathrm{th}\frac{x}{2})}{1+{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}=2\mathrm{arctg}(\mathrm{th}\frac{x}{2})+C\end{array}$

Ятарлă функцисем

$\int \mathrm{Ci}(x)dx=x\mathrm{Ci}(x)-\sin x$

$\int \mathrm{Si}(x)dx=x\mathrm{Si}(x)+\cos x$

$\int \mathrm{Ei}(x)dx=x\mathrm{Ei}(x)-e^x$

$\int \mathrm{li}(x)dx=x\mathrm{li}(x)-\mathrm{Ei}(2\ln x)$

$\int \frac{\mathrm{li}(x)}{x}dx=\ln x\mathrm{li}(x)-x$

$\int \mathrm{erf}(x)dx=\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x\mathrm{erf}(x)$

Çавăн пекех

• Тухсатăрансен таблици