Пеанолла тăхăм

Пеанолла тăхăм ― функцин тăхăмĕ тенин анлăлатăвĕсенчен пĕри.

Ак çакнашкал танлăх пур тейĕпĕр

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +\frac{a_r}{r!}(x-x_0{)}^r+\gamma (x)(x-x_0{)}^r$

кунта $a_0,a_1,\dots ,a_r$ ― константăсем тата $\gamma (x)\to 0$, енчен те $x\to x_0$ тата $\gamma (x_0)=0$ пулсан. Кун пек чухне $a_r$ хисепе $f$ функцин $x_0$ пăнчăри тата $r$ ретри пĕтĕмĕшле Пеанолла тăхăмĕ теççĕ.

Паллă тăвасси: $f_{(r)}(x_0)=a_r$, уйрăммăн илсен $f_{(0)}(x_0)=f(x_0)$, $f_{(1)}(x_0)=f^{\prime }(x_0)$.

Палăрăмсем

• Енчен те $f^{(r)}(x_0)$ пур пулсан, $k\le r$ тĕлĕшпе $f_{(k)}(x_0)$ текенни те пур.

• Енчен те вĕçлĕ, кулленлĕхле тата икĕ енлĕ $f^{(r)}(x_0)$ тăхăм пулсан, ак çакăн пек пулать: $f_{(r)}(x_0)=f^{(r)}(x_0)$. Кутăнла калани $r>1$ чухне тĕрĕс мар: $f(x)=x^{n}D(x)$ функцишĕн, кунта $D$ — Дирихле функцийĕ енĕпе мĕнпур $f_{(r)}(0)=0$ леш $r<n$ пулсан, çав вăхатрах $f^{(r)}(0)$ тенине мĕнппур $r>1$ тĕлĕшпе палăртман.