Тĕп функцисен чиккисен йышĕ

Тĕп функцисен чиккисен йышĕ — паллăрах функцисен чиккисене, кулленхи ĕçлевлĕхре усă курас тĕллевпе, черетлесе тухни тата, çавăн пекех, вĕсене тупмалли тĕп йĕркевсем. Тĕслĕхсенчи a тата b x тĕлĕшĕнчи константтăсем пулса тăраççĕ.

Чикĕсен пĕтĕмĕшле палăрăмĕсем

Енчен $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ тата $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$ пулсан, вара:

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$, енчен $L_2\ne 0$ пулсан

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^a=L_1^a$, енчен сылтăм пайри хисеп тата сулахайри функцин x=c пăнчă таврашĕнчи пĕлтерĕшĕсем чăнахах пур пулсан.

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, енчен $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$, е $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (Лопиталь йĕркевĕ)

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$ (функцин тăхăмĕн палăртавĕ)

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(e^{h}x)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

Паллă константтăсемпе çыхăннă чикĕсем

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$ (Непер константти) — Иккĕмĕш чаплă чикĕ

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}}}}}=\pi$ (пи), шалти $\sqrt{2}$ радикала $\sqrt{3}$ радикалпа ылмаштарсан, вара чикĕ $\frac{2\pi }{3}$ чухлĕ пулать

Ансат функцисем

$\underset{x\to c}{\lim }P(x)=P(c)$, где $P(x)$ — полином.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=-\mathrm{\infty }$, енчен r мăшăрсăр чухне тата $+\mathrm{\infty }$ пулсан, енчен r мăшăрлă чухне.

Логарифмла тата кăтартăшла функцисем

Енчен $a>1$ пулсан:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty }$

Тригонометрилле функцисем

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ — Пĕрремĕш чаплă чикĕ

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n\pm 0}{\lim }\mathrm{tg}(\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$, енчен n — тулли хисеп.

Вĕçсĕрлĕх таврашĕнчи чикĕсем

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a/x=0$, хуть те мĕнле чăн a чухне.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ -\mathrm{\infty },& a<0\end{array}$ тата вăл $a=0$ чухне çук.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ 1,& a=0\\ 0,& a<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>1\\ 1,& a=1\\ 0,& -1<a<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/a^x=0$ хуть те мĕнле $a>1$ чухне

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{a}=\{\begin{array}{cc}1,& a>0\\ 0,& a=0\end{array}$ тата вăл $a<0$ чухне çук.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[a]{x}=\mathrm{\infty }$ хуть те мĕнле $a>0$ чухне

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$